Ich hatte vor der Gartenrenovierung auch etliche Stellen / ganze Beete, die seit Jahren, teilweise Jahrzehnten von Efeu bewachsen waren. Ich habs im Prinzip genauso gemacht wie Hero: abgeschnitten und dann mit dem Spaten ran. Zwei Spaten tief umgegraben und alle Wurzeln rausgesucht. Seitdem ist Ruhe. Vereinzelt kommt noch mal ein Trieb raus, den ich dann noch im jüngsten Stadium einfach rausreisse.
Ich bin nicht dogmatisch und benutze auch schon mal, wenns gar nicht mehr anders geht, Unkrautvernichter. Dann aber sehr gezielt auf das, was vernichtet werden soll. Ich würde doch rein gefühlsmäßig davon abraten, eine größere Fläche einfach nach dem Gießkannenprinzip mit Roundup einzusprühen. Und auch wenn roundup über die Blätter aufgenommen und in die Wurzeln transportiert werden soll - ich zweifle ehrlich gesagt daran, dass du damit eine wirklich alte Efeukultur nachhaltig kaputt bekommst. Ich hab mal - in größter Verzweiflung - Roundup auf Knöterich aufgesprüht. Der hat sich kaputt gelacht und allenfalls ein paar braune Blätter bekommen, sonst aber munter weiter gewuchert.
Wenn du es unbedingt mit Gift probieren willst, dann nach der Spatenknecht-Methode: jeden einzelnen Haupttrieb impfen. Das wird Erfolg haben - allerdings finde ich, das ist soviel Arbeit, da kann ich besser gleich mit dem Spaten ans Werk gehen.