Dusch ihn mal richtig kräftig ab oder besser noch gönn ihm mal ein paar Tage im Regen zu stehen wenn es regnene sollte, stell ihn dann nur nicht in die Sonne sondern solange in den halbschatten damit die Nadeln nicht wieder so schnell abtrocknen/austrocknen.
Er braucht auch genug Wurzelraum also umtopfen falls er zu klein steht und auf einen guten Wasserabfluß achten, am Besten ein paar Kiesel unten in den Topf legen.
Ich hab meinen neuen Rosmarien auch zu trocken gehalten, die Nadeln wurden schon ganz gräulich und diese Spinngebilde hatte ich auch, hab ihn dann ein paar Tage hintereinander richtig gewässert vor allem mit der Gießkanne über die Nadeln jetzt sieht er wieder richtig gut aus.
Spinnmilben mögen Feuchtigkeit auch nicht die dürften dann verschwinden.
Wenn er wieder schön grün ist dann natürlich wieder ab in die Sonne das mag er ja nunmal am liebsten.
LG Stupsi