Hallo.
Also als erstes musst du deinen Vermieter fragen ob du das überhaupt darfst. Ich gehe mal davon aus, das du in deinem Mietvertrag ein Garten Mitbenutzungs Klausel stehen hast.
Bedenke bitte, das du nur Nutzungsrecht hast und kein Besitzer, dieses Gartens bist und somit erst einmal um Erlaubnis fragen solltest.
Wenn er nichts dagegen hat und dir die Erlaubnis gibt, (am besten schriftlich) musst du mit einem Spaten den Rasen ausstechen, das du die blanke Erde erst mal hast.
Da durch das Ausstechen ein Teil der Erde ja an den Wurzeln des Rasens hängen hast, musst du dir Kompost Besorgen. (Kompost gibt deinem Boden die Nährstoffe die er braucht
Weil:
1. Rasen zieht wie jede Pflanze Nährstoffe aus der Erde.
2. Fehlen dir nach dem abstechen einige cm an Erde. Es sollen ja auch keine Wurzeln zurück bleiben.
Den Kompost, gibst du nun auf die freie Erdfläche und gräbst diese komplett um, so das Erde und Kompost gemischt sind.
Am besten gibst du dann noch etwas Organischen Dünger mit zu.
Ich würde auch noch eine Wurzelsperre um das Beet setzen. das es klar abgegrenzt ist und sich keine Wurzeln in den Rest des Gartens und der Rasenfäche bilden.
Bambus bildet z.B Riesige unterirdische Wurzeln die sich dann durch den Garten verbreiten und die du nur durch ausheben der gesamten Fläche weg bekommst.
Gemüse bildet zwar keine Riesigen Wurzeln, aber trotzdem würde ich eine Sperre machen. So das du nicht den angrenzenden Rasen beim ausheben und entfernen der Gemüse und Blumen wenn sie verblüht oder mal weg müssen beschädigst.
Desweiteren solltest du beachten, das in den meisten Fällen die Sache so an den Vermieter zurückgegeben werden muss wie du sie beim Einzug vorgefunden hast.
Also müsstest du wieder alles entfernen und mit der gleichen Sorte Rasen die Rasenfläche ersetzen.
Mit dem Essig das läßt du mal BITTE schön bleiben, weil du dir den ganzen Boden damit versaust und du dann nix anbauen brauchst weil der Boden zu sauer ist.
Wenn du Erfolg haben solltest und die Erlaubnis bekommst, wünsche ich dir viel Erfolg beim Anbau von deinem Gemüse und hoffe auf Bilder wie es den nun geworden ist.